11 PROBABILIDAD CONDICIONAL CON Y SIN REPOSICION .

ACTIVIDAD   6 

INSTITUCION  EDUCATIVA   JOSE MARIA  CORDOBA 

ESTADISTICA       GRADO    ONCE            Lic  Victor  M. Echeverri 

PROBABILIDADES   CONDICIONAL.

Ley multiplicativa de las probabilidades.

Probabilidad con reposición

La probabilidad de que ocurran dos eventos independientes (uno Y el otro), es igual al producto de que ocurra cada uno por separado.

Son sucesos Independientes, ya que luego de la ocurrencia de uno se mantiene el mismo espacio muestral para el otro.

P = P P P

Reposicion, significa que es una probabilidad compuesta, por lo tanto se multiplican los eventos (2 o mas eventos),

*Reposicion, significa devolver, o contabilizar nuevamente. en los ejercicios, no se hace nada, y no se cambia absolutamente nada

En los eventos independientes, se cumple que:

Probabilidad sin reposición

P = P +P            P (  A    U    B )    =     P (  A  )     +     P  (  B  ) 

b) Luego de sacar la primera carta, se saca la segunda sin reponer.

1 o 2 

Sucesos dependientes, ya que luego de la ocurrencia de uno, varía el espacio muestral, al "no reponer".

*Sin Reposicion, significa lo contrario, y significara un cambio en la probabilidad, es decir una disminucion en el espacio muestral y dependiendo de lo que varie, en los eventos ocurridos

NOTA :  No  olvidar   el concepto de  probabilidad :  LEY  DE  LAPLACE

P ( A)    =       Numero  de  elementos  de un e vento.                         P( E)    =      n  (  E  ) 

                        Numero  de  elementos  del  espacio  muestral.                               n  (  S  ) 

EJEMPLO  1-.......

Se tiene  una   cesta  con   2 manzanas  y   3  naranjas   y otra  cesta  con  4  naranjas  y  5  manzanas. 
Se quiere  sacar  dos  frutas,  una  fruta  de cada  una  de las cestas.  Cual es  la probabilidad  de que  al sacar  las  dos frutas  a)  sean NARANAJAS    b )   sean   MANZANAS  c )   sean  diferentes 

como  son  dos  frutas  que  se van  a  sacar,   el espacio  muestral  es :  ( M,M ) ,      ( M,N )  ,     (  N, M  )  ,  (  N, N  )   

a)   La probabilidad  de  sacar
   P(M)  y   P(M)   =    (2/5)  .  (5 /  9) =   10/45   =   2/9  = 0.222222    =   22.22222%

b)  La probabilidad  de  sacar
   P(N)  y   P(N)   =    (3/5)  .  (4 /  9) =   12/45   =   4/15  = 0.266666    =   26,66666%

c.)   Como deben  ser  diferntes entonces  sera: 

    P  (  M1 N2 )       o        P  (  N1 M2 )      (  manzana  de  la cesta1  y naranja de la cesta2  y                                                                                    viceversa   )
     
        (   2/5  ) .  (  4 /  9 )     +     (  3 / 5 )  .  (  5/  9  ) 
                
                      8/ 45            +         15/45       =   23 /  45    =  0.51111111     =     51,11111%    


EJEMPLO  2. ......   SIN  REEMPLAZO.   (  la  bola que se  saca  no se devuelve  a la                                                                                                urna  )

Se  tiene  una urna  con  4  bolas  blancas,  3  bolas  azules,  1  bola  roja.   Se  va  a sacar  3  bolas  (   de  una  por  una ) .Cual  es  la probabilidad  que  las  bolas sean.

a)   Que las  bolas  sean  blancas.?    
 b)  Que las  bolas  sean  del  mismo  color?   
c)    Que  salga una  bola  roja, azul  y  blanca )  
d)    Que  dos  bolas  sean   blancas ?  
e )  Que una  bola  sea  roja ?    

a)   Que las  bolas  sean  blancas.? 
P(  B,B,B )   =   P ( B )  .   P ( B )  . P ( B )    
                      =      4/8     .     3/ 7    .    2 /  6         hay   8  bolas  en total  pero cuando se  saca  una                                                                                blanca,   ya  quedan   en la urna  3  blancas  y  7                                                                                  bolas  en total  y  ................
                     =     24 / 336       =     0,07142857     =   7.14 %
   
 b)  Que las  bolas  sean  del  mismo  color?   

puede  suceder  que   P ( B,B,B)     o   P ( A,A,A )     rojas no puede ser porque hay  1 sola bola

 P ( B )  .   P ( B )  . P ( B )      +         P ( A )  .   P ( A )  . P ( A ) 
    4/8     .     3/ 7    .    2 /  6       +          3/8     .     2/ 7    .    1 /  6  

                  =    24 / 336                +              6  /  336  
                               
                   =               30 / 336         =    0,089285
                    
                   =         8,928  %   

c)    Que  salga una  bola  roja, azul  y  blanca ) 

     P (  R,A,B )     =    P ( R )  .   P ( A )  . P ( B ) 
                               
                              =      1/8     .    3 / 7     .   4 / 6 

                      =    12  /   336      =  0, 035714       =    3,57 %   

d)    Que  dos  bolas  sean   blancas ?  

puede  suceder  que   P ( B,B,X)     o   P ( B,X,B )   o   P ( X,B,B)   X  puede ser  otro  color 
P ( B )  .   P ( B )  . P ( X )      +         P ( B )  .   P ( X )  . P ( B )     +     P ( X )  .   P ( B )  . P ( B ) 
4/8     .    3 / 7     .   4 / 6      +         4/8     .    4 / 7     .   3 / 6      +     4/8     .    4 / 7     .  3 / 6 

        =              48 /  336        +         48 / 336        +     48 / 336 
         
                     144 /  336    =    0,4285714        =    42,85%

e )  Que una  bola  sea  roja ?    

puede  suceder  que   P ( R,X,X)     o   P ( X,X,R )   o   P ( X,R,X)   X  puede ser  otro  color 
P ( R )  .   P ( X )  . P ( X )      +         P ( X )  .   P ( X )  . P ( R )     +     P ( X )  .   P ( R )  . P ( X ) 
1/8     .    7 / 7     .   6 / 6      +         7/8     .    6 / 7     .  1 / 6      +     7/8     .    1 / 7     . 6 / 6 

        =              42 /  336        +         42 / 336        +     42 / 336 
         
                       126  /   336   =    0,375        =    37,5%

NOTA:  Los  siguientes  videos  le ilustran  el  tema  para poder  solucionar  los ejercicios propuestos.

con  reemplazamiento.

otro  ejemplo  con  reemplazo  y  sin reeemplazo .

TALLER  PARA  SOLUCIONAR  EN SU  CUADERNO

0.-  De  dos  urnas   se  va   a extraer    2  bolas  (  una  de cada  una, )  .   Si la primera  urna  tiene    5 rojas  y     2  negras       y   la segunda  urna  tiene   2  rojas  y  4 negras .

Si  se  toma  al azar  una  bola  de cada  urna  cual  es  la probabilidad  de :

     a.   Las    bolas  sean   negras-   P ( NN) .

     b.   Las  bolas  sean   rojas   - P (  RR ) 

     c.  Las  bolas  sean  de diferente  color- 

1.-   SE  VA  A EXTRAER  DE  UNA  CAJA  3   POLLITOS .  Con  reposicion 

Si la   CAJA  tiene   POLLITOS  DE  COLORES  ASI;  8 azules,   5  blancos  y  3   negros .
Si  se  toma  al azar  3 pollitos de la caja    ( de uno en  uno ). Cual   es  la probabilidad de :

     a.   Los    pollitos   sean   negros-   P ( NNN) .
     b.   Los    pollitos   sean   blancos-   P (BBB) .

     C.   Los    pollitos   sean   negros  de diferente  color.
      d.  Que salgan  dos  pollos  blancos 

2.-   SE  VA  A EXTRAER  DE  UNA  CAJA  3   POLLITOS .  sin  reposicion 

Si la   CAJA  tiene   POLLITOS  DE  COLORES  ASI;  8 azules,   5  blancos  y  3   negros .
Si  se  toma  al azar  3 pollitos de la caja    ( de uno en  uno ). Cual   es  la probabilidad de :

     a.   Los    pollitos   sean   negros-   P ( NNN) .
     b.   Los    pollitos   sean   blancos-   P (BBB) .

     C.   Los    pollitos   sean   negros  de diferente  color.

3-   SE  VA  A EXTRAER  DE  UNA  URNA   2   BOLAS   sin reposcicion.

Se  tiene  una  urna  con   BOLAS   DE  COLORES  ASI;  4 azules,   2  VERDES  y  6   negros .

Si  se  toma  al azar  2 bolas de la urna  ( de uno en  uno ). Cual   es  la probabilidad de :

     a.   Las    bolas  sean   del  mismo  color 

     b.   Las  bolas  sean   azul  y  negra   P  ( AN  )

     c.  La  ultima  bola  sea  azul- 

4.-  SE  VA  A  SELECCIONAR   3  PERSONAS .

       Un  grupo  de  ciudadanos  viajeros  llegan de CANADA   a   los  E.E.U.U.   Fueron   retenidos  en el aeropuerto  y  se  va  a  DEPORTAR  A   3  de ellos .  Se  tiene de ellos  que  3  son  BLANCOS,    7  son LATINOS  y   5  son   ASIATICOS.
 Si  se  toma  al azar  3 personas   ( de uno en  uno ). Cual   es  la probabilidad de :

     a.   Las    personas   sean   del  mismo  color 

     b.   Las  personas   sean  de diferente  color.

     c.  Los escogidos  seab  en orden   P( B,L,A ) 
     

5.  SE  VA  A EXTRAER  DE  UNA  URNA   2   FIGURAS.  con  reposicion.
Se  tiene  una  urna  con   FIGURAS  EN  ORO,  PLATA     ASI;  4  de  oro    5  de  plata.

Si  se  toma  al azar  2  figuras  de la  urna,  cual  es  la probabilidad  de que  :

     a.   Las    figuras   sean   de  oro s-   P ( O,O) .

     b.   Las  figuras sean de  plata  - P (  p,p ) 

     c.  Las  bolas  sean  de diferente  P (  o,p )

6.-   SE  VAN  A RIFAR 3  PASAJES  PARA  IR  DESDE  MADRID  A  BARCELONA.   si  los  pasajes  son estan en una urna  asi:  5  DE  AVION,  4  DE TREN,  2  DE  AUTOBUS.
Si  se  toma  al azar  3 pasajes    ( de uno en  uno ). Cual   es  la probabilidad de :

     a.  Los pasajes sean  de mismo medio de  transporte,?

     b.   Los pasajes sean  de diferente  medio de  transporte,?

     c.  Escojan  dos pasajes  de aviosn P ( A ,A )
      d. Al menos  uno de los pasajes  sea  de  tren
     e .  Que un pasaje  sea  de  autobus.