10 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
ACTIVIDAD 7
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.
MEDIA
Se tiene el sueldo mensual de 6 trabajadores asi: 800.000 - 1200.000 - 900.000 - 1.500.000
1.450.000 - 1.000.000
MEDIANA
Las medidas de tendencia central son
utilizadas para describir mediante un número único, la posición de la variable
observada en un estudio estadístico, de tal forma que represente el conjunto en
general de los datos observados.
Se llaman medidas de tendencia central
porque, en la mayoría de los casos, ese valor se encuentra ubicado en el centro
de la distribución o muy cerca de dicho centro.
Las medidas de tendencia central más
utilizadas son: La Media, La Mediana y La Moda.
Es la que por lo
general se conoce con el nombre de “MEDIA”, sin hacer ninguna especificación y
se define como la suma de todos los elemento de un conjunto de datos dividida
por el número total de datos.
X
= Σxi / n
|
Es la medida de
tendencia central de mayor uso en análisis estadístico e indica el promedio de
los registros de la variable considerada.
MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS
Ejemplo:
Los ingresos
mensuales, en dólares, de un grupo de vendedores de una multinacional se
muestran en la siguiente tabla:
Sueldo promedio: X =
Σxi/n = ( 800.000 + 1200.000 + 900.000 + 1.500.000
+1.450.000 + 1.000.000 ) / 6 = 6.850.000 / 6 =
1.141.666,66
INTERPRETACIÓN
Si los ingresos en
los doce meses fueran iguales, sería de 1.141.666,66 pesos
MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS
Para calcular la
media de datos agrupados, se emplea la siguiente relación:
X
= ΣXi·fi / n
|
Donde:
Xi = Cada marca de clase.
fi = Frecuencia absoluta de cada clase.
N = Número total de datos
Ejemplo:
El siguiente cuadro
se refiere a la distribución de frecuencias de la duración en unidades de
tiempo de 100 clases de lámparas de cierta marca, determine la media de
duración e interprete el resultado:
Duración fi
24 – 27 6
28 – 31 18
32 – 35 22
36 – 39 20
40 – 43 22
44 – 47 12
Solución:
X = ΣXi·fi
/ n = (25.5 x 6 + 29.5 x 18 + 33.5 x 22 + 37.5 x 20 + 41.5 x 22 + 45.5 x 12) / 100
= 36.3
INTERPRETACIÓN:
Si la duración de
las lámparas fuera igual, cada una debería durar 36.3 unidades de tiempo.
La mediana de una
distribución de datos ordenados es el valor que se encuentra en la mitad.
La mediana es, por
lo tanto, la medida de tendencia central que divide a la distribución en dos
partes iguales.
1.
Para un
número impar de datos no agrupados y ordenados de menor a mayor o de mayor a
menor, la posición de la mediana se encuentra aplicando la relación: (N + 1)/2
Ejemplo:
A un grupo de 5
niños en edad escolar (4 años cumplidos) que ingresarán a cierto jardín se les
tomó el peso en kilogramos y se obtuvo los siguientes datos:
15,9 – 15,6 – 15,8
– 15,7 – 15,6, encontrar la mediana
Solución:
1.
Ordenamos
en forma creciente: 15,6 – 15,6 - 15,7 – 15,8 - 15,9
2.
Hallamos
la posición de la mediana: (N + 1)/2 = (5 + 1)/2 = 3
3.
La mediana
es: Me = 15,7
INTERPRETACIÓN:
El 50% de los niños
tienen un peso menor o igual a 15,7 Kilogramos y el otro 50% tienen un peso
mayor o igual a 15,7 Kilogramos.
2.
Para un
número par de datos no agrupados y ordenados de menor a mayor o de mayor a
menor, la posición de la mediana se encuentra aplicando la relación: (N + 1)/2. Como se obtiene un número entero seguido de un
decimal, la mediana será la semisuma del valor anterior y posterior del número
obtenido.
Ejemplo:
Las estaturas, en
centímetros, de un grupo de seis niños de cuatro años se dan a continuación:
101.4 – 101.8 – 101.9 – 102.1 – 102.2 – 102.2.
101.4 – 101.8 – 101.9 – 102.1 – 102.2 – 102.2.
Solución:
1. Ordenamos en forma creciente: Ya lo están.
1.
Hallamos
la posición de la mediana: (N + 1)/2 = (6 + 1)/2 = 3.5
2.
La mediana
es: Me = (101.9 + 102.1)/2 = 102
INTERPRETACIÓN:
El 50% de los niños
tienen talla menor a 102 centímetros y el otro 50% tienen talla mayor 102 centímetros.
PARA DATOS AGRUPADOS
Para datos
agrupados, el valor aproximado de la mediana se calcula aplicando la siguiente
relación:
Me = L1 + (N/2 – Σf)·CI
fMediana
Donde:
L1 = Límite real inferior de la clase mediana.
N = Número de datos.
Σf = Frecuencia acumulada antes de la clase mediana.
fMediana = Frecuencia absoluta de la clase mediana.
CI =
Diferencia entre marcas de clase.
Ejemplo:
Se trata de
investigar el precio de un determinado artículo en diferentes proveedores. Los
datos se dan organizados en una distribución de frecuencias por intervalos,
como se muestra en el siguiente cuadro:
Precios en unidades Proveedor fai
Monetarias
57 – 62 8 8
63 – 68 8 16
69 –74 13 29
75 – 80 7 36 ***
81 –86 10 46
87 – 92 5 51
93 – 98 9 60
*** Clase mediana
PROCESO:
1.
Clase
mediana: N/2 = 60/2 = 30... Cuarto intervalo.
2.
Límite
inferior: Xi = (75 + 80) /2 = 77.5 L1
= 77.5 – 6/2 = 74.5
3.
Σf = 8 + 8
+ 13 = 29
4.
fMediana
= 7
5.
Me = 74.5
+ (60/2 – 29)·6 = 75.4
7
INTERPRETACIÓN:
El 50% de los
proveedores ofrecen precios del artículo de 75.4 unidades monetarias o memos.
El 50% de los proveedores ofrecen precios de 75.5 unidades monetarias o más.
MODA
Para datos no agrupados, la moda de un
conjunto de datos es aquel que más se repite (el más popular) o aquellos que
más se repiten, es decir el dato o los datos con mayor frecuencia absoluta.
Con esta definición se puede decir que un
conjunto de datos puede tener una, dos o más modas (unimodal, bimodal,
trimodal, polimodal), incluso un conjunto de datos puede carecer de moda
(amodal)
Ejemplos
Para datos no agrupados:
1. 6,
8, 9, 10, 11 No hay
moda, ningún dato se repite más que otro.
2. 6,
8, 9, 10, 11, 6 X = 6 Caso Unimodal.
1. 6, 8, 9, 10, 11, 6, 8 X = 6 o X = 8
Caso Bimodal.
2. 6, 8, 9. 10, 11, 6, 8, 9 Caso Trimodal.
3. 6, 8, 9, 10, 11, 6, 8, 9, 10 Caso Polimodal.
PARA DATOS AGRUPADOS
Si la muestra está agrupada, los datos
individuales no son visibles y por lo tanto es imposible saber cual o cuales
son los datos con mayor frecuencia absoluta. Se ha convenido entonces calcular,
como aproximación a la moda, el valor que resulte de interpolar en el
histograma (o polígono de frecuencias) una abscisa intermedia de la clase modal
(clase con mayor frecuencia absoluta)
Para calcular MO a partir de
datos agrupados en intervalos de clase utilizamos la formula:
MO = L1
+ (Δ1/ (Δ1 + Δ2))·CI
|
Donde:
L1 = Límite real inferior de la clase
modal.
Δ1 = Diferencia entre la
frecuencia absoluta de la clase modal y la frecuencia absoluta de la clase premodal.
Δ2 = Diferencia entre la
frecuencia absoluta de la clase modal y la frecuencia absoluta de la clase
posmodal.
CI = Diferencia entre las marcas
de clase.
Ejemplo 1
Supongamos que 40 personas fueron sometidas
a una dieta especial de adelgazamiento, siendo los resultados los siguientes:
Perdida de peso en Kilogramos NO
de personas
2 – 4 4
5 – 7 7
8 – 10 10
11 – 13 12 xx
14 – 16 5
17 – 19 2
xx: Representa la clase modal o clase con
mayor frecuencia absoluta.
L1 = 10,5
Δ1 = 12 – 10 = 2
Δ2 = 12 – 5 = 7
CI = 3
MO = 10,5 + (2/(2 + 7))*3 = 11,2
Kilogramos.
Ejemplo 2
Suponga que el siguiente cuadro se refiere
a una distribución de frecuencias por intervalos de edades de un grupo de 30
estudiantes de Finanzas y Negocios Internacionales de la jornada nocturna de
tercer semestre:
Edades NO
de estudiantes
18
– 20 10
21
– 23 10
24
– 26 4
27
– 29 3
30
– 32 1
33
– 35 2
NOTA: En este ejemplo hay dos intervalos seguidos que tienen la mayor frecuencia, en estos casos tomamos cualquiera de
los dos y el resultado es el mismo; Si hay dos intervalos no-consecutivos con la misma mayor frecuencia, es necesario hallar la moda para cada
intervalo (caso bimodal)
Para el primer intervalo para el segundo
intervalo
L1 = 17,5 L1
= 20,5
∆1 = 10 – 0 = 10 ∆1
= 10 – 10 = 0
∆2 = 10 – 10 = 0 ∆2
= 10 – 4 = 6
CI = 2 + 1 = 3 CI
= 3
Mo = 17,5 + ((10/(10 + 0)) x 3 Mo = 20,5 +
((0/(0 + 6)) x 3
Mo = 20,5 Mo = 20,5
Interpretación:
La edad más popular
de los estudiantes en consideración está entre los 20 y 21 años
TRABAJO DE PRACTICA EN SU CUADERNO.
5- Calcule media, mediana y moda en:
6- Calcule media, mediana y moda en:
7- Calcule media, mediana y moda en:
8- Calcule media, mediana y moda en:
1.- Los puntajes, sobre 100, de un grupo de 12
estudiantes en un examen de matemáticas fueron:
68 47
53 60 56
71 44 55 82
56 40 52
Calcule la
media aritmética, la mediana y la moda .
2.- Los siguientes datos corresponden al número
de días de lluvia por mes en el centro de Medellín:
5 10
13 17 22
11 15 20
24 21 23
10
Calcule la
media aritmética, la mediana y la moda e interprételas.
3.- El número de horas trabajadas cada semana por Ana
en los dos últimos meses fue:
52 48
37 54 48
15 42 12
Calcule la
media aritmética, la mediana y la moda e interprételas.
4.- El número de horas trabajadas cada semana por Ana
en los dos últimos meses fue:
52 45
35 34 28
21 32 12
Calcule la
media aritmética, la mediana y la moda e interprételas.
5- Calcule media, mediana y moda en:
El siguiente cuadro de frecuencias corresponde al número de fusibles defectuosos por caja (cada caja 10 fusibles) en una muestra de 20 cajas.
Xi
|
ni
|
Ni
|
0
|
2
|
2
|
1
|
3
|
5
|
2
|
5
|
10
|
3
|
6
|
16
|
4
|
3
|
20
|
6- Calcule media, mediana y moda en:
El siguiente cuadro
se refiere a la distribución de frecuencias de la duración en unidades de
tiempo de 100 clases de lámparas de cierta marca, .
Duración fi
24 – 27 6
28 – 31 18
32 – 35 22
36 – 39 20
40 – 43 22
44 – 47 12
7- Calcule media, mediana y moda en:
Servientrega tiene la siguiente
distribución de frecuencia que representa los pesos en kilogramos de una
muestra de paquetes transportados.
Peso
en Kg.
|
Paquetes
 |
ni
|
hi
|
[10
- 11]
|
10,5
|
3
|
|
[11
- 12]
|
11,5
|
6
|
|
[12
- 13]
|
12,5
|
9
|
|
[13
– 14]
|
13,5
|
15
|
|
[14
– 15]
|
14,5
|
8
|
|
[15
- 16]
|
15,5
|
1
|
|
total
|
42
|
8- Calcule media, mediana y moda en:
:
Dada la siguiente distribución de los pesos en lb. de 40 estudiantes;
Clases
|
ni
|
Ni
|
[118
- 126]
|
3
|
3
|
[127
- 135]
|
5
|
8
|
[136
- 144]
|
9
|
17
|
[145
- 153]
|
12
|
29
|
[154
- 162]
|
5
|
34
|
[163
- 171]
|
4
|
38
|
[172
- 180]
|
2
|
40
|
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