11- PROBABILIDAD CONDICIONAL-

ACTIVIDAD   7 

INSTITUCION  EDUCATIVA   JOSE MARIA  CORDOBA 

ESTADISTICA       GRADO    ONCE            Lic  Victor  M. Echeverri 

PROBABILIDADES   CONDICIONAL.  

El  concepto  de  PROBABILIDAD  CONDICIONAL   surge cuando  se  quiere  obtener  la  probabilidad de  un evento    A,   y se  tiene  conocimiento  que  ya  ocurrio  otro  evento B  relacionado  al  primero,  se  denota   como 

P  (   A  / B  )    =      P   ( A ∩  B )    

                                P ( B) 

Se   calcula  la  probilidad  conjunta  de ambos  eventos  y el  resultado  se  divide  entre  la  probabilidad  de  B  que  es  el elemento  que  se  dio  como  base.

De  esta  formula  se  pueden  hacer  los despejes  que  se  requieran.

Regla de la multiplicación o producto de probabilidades

La regla de la multiplicación o regla del producto, permite encontrar la probabilidad de que ocurra el evento A y el evento B al mismo tiempo (probabilidad conjunta). Esta regla depende de si los eventos son dependientes o independientes.

Eventos dependientes

Dos eventos A y B son dependientes, si la ocurrencia de uno de ellos afecta la ocurrencia del otro. Para eventos dependientes, la regla de la multiplicación establece que:

Ejemplo 1:

Una caja contiene 2 canicas azules y 3 rojas. Si se extraen dos canicas al azar sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean azules?

Solución:

Dado que las canicas serán extraídas de la misma caja, y que las canicas que se extraigan, no serán devueltas a la caja (no hay reposición), entonces, se trata de eventos dependientes.

• Evento A: obtener una canica azul en la primera extracción.     2 / 5 
• Evento B: obtener una canica azul en la segunda extracción.    1/4 

Por la regla de la multiplicación, sabemos que

Ejemplo 2:

El  grado  decimo  de la JOSE MARIA  CORDOBA   el  40%  de los estudiantes  gana  filosofia,   el  70% gana  matematicas  y   el  20%  gana  ambas  materias. Se se  toma  un  estudiante  al  azar,  Cual es  el probabilidad  que  gane  matematicas  si  ya  gano  filosofia. ?

A:   gana  filosofia    =   P( A) =  40%          B:   gana matematias  =  P( B) =  40%  

 P( A n  B) =  20%  .                 P( B/A) =  ?    

  P( B  n A) =   P( B/A) . P ( A ) 

P( B/A) =   P( B  n A) /  P ( A )

    P( B/A) =  (0.2) /  ( 0.4 )

  P( B/A)  =       0.5   =   50  %

Eventos independientes

Dos eventos A y B son independientes, si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la ocurrencia del otro, es decir, cuando los eventos A y B no están relacionados. Para eventos independientes, la regla de la multiplicación establece que

Esto se debe, a que en los eventos independientes, la ocurrencia de un evento, no afecta a la ocurrencia del otro

Ejemplo 3:

En un colegio, la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar hable inglés es de 0,20; mientras que la probabilidad de que un alumno juegue fútbol es de 0,80.

El hecho de que un alumno hable inglés, no afecta en nada que juegue fútbol; por lo tanto, se trata de eventos independientes.

• Evento A: que el alumno hable inglés. P(A) = 0,20.
• Evento B: que el alumno juegue fútbol. P(B) = 0,80.

Usamos la regla de la multiplicación para eventos independientes

Ejemplo 4:

Sabiendo que P(A) = 0,70; P(B) = 0,50; y además, P(A∩B) = 0,40; determinar si son eventos dependientes o independientes.

Solución:

En los eventos independientes, se cumple que:

En este caso:

• P(A∩B) = 0,40.
• P(A) × P(B) = 0,70 × 0,50 = 0,35.

Podemos ver que 0,40 es diferente de 0,35; entonces:
Podemos concluir que no son eventos independientes, es decir, son eventos dependientes.

Ejemplo 5:

Un esudio  sobre la  fidelidad   e  infidelidad   entre hombres y mujeres,   muestra  que 50     hombres  son  fieles y  30  son  infieles.     70 mujeres  son  fieles y 60  son  infieles.  CALCULAR  :

a.- La probabilidad  que una persona  tomada  al azar  sea  infiel.?

b.- La probabilidad  que una persona  tomada  al azar  sea  mujer.?

c.    Cual es  la probabilidad  que  sea  fiel .?    Si  se toman  los hombres.  

d.    Si  se  toman  un  infiel.     Cual  es la probabilidad que sea una mujer?
e.   Cual es  la probabilidad  que  sea  una  mujer  si  se toman  los  infieles.?
f  Si  se  toma  un  hombre,  Cual es la probabilidad  que  sea  fiel ?
g.  Si  se  toma  un  hombre,  Cual es la probabilidad  que  sea  infiel ?

Solución:

a .-          P ( infiel )  =    90 /  210    =  0, 4285       =    42.85 %

b.-           P ( muejr )  =    130 / 210     =   0,619       =     61,9 %

c.-       P ( fiel/ hombr )  =  P  ( fiel  n  hom )  =   23 ,8 %    =  62,5 %                                                                                                            P( hom )             38,1 %           

              P  ( fiel  n  hom )  =   50 / 210   =     0,238      =     23, 8 %

               P( hom )   =    80 / 210  =  0,381   =   38,1 %

                                           

 d.-       P ( infiel/ muje )  =  P  ( infi  n  muj )  =   28, 6 %    =  46,2 %                                                                                                            P( muj )             61,9 %           

              P  (infi  n  muj )  =   60 / 210   =     0,286     =     28, 6 %

               P( muj )   =    130 / 210  =  0,619   =   61,9 %

 e.-       P ( muj/ infie )  =  P  ( muj  n  infi )  =   60    =  66,7 %                                                                                                                    P( inf )               90     

f.-       P ( fie/ homb )  =  P  ( fiel  n hom )  =   50    =  62,5 %                                                                                                                    P( hom )               80    

g.-       P ( infi/ hom )  =  P  ( inf  n  hom )  =   30    =  37,5 %                                                                                                                    P( hom )               80    

TRABAJO  DE PRACTICA  EN  SU  CUADERNO.

RESOLVER  LOS  SIGUIENTES  EJERCICIOS .

1.-   Calcular  la probabilidad de obtener  3  al tirar  un dado sabiendo  que  ha  salido  un numero  impar.?   

2.-    Calcular  la probabilidad de obtener  2  al tirar  un dado sabiendo  que  ha  salido  un numero  par.?   

3.- Se tiene  una  urna  con  6  bolas  blancas  y  4  bolas negras.  Se  va  a sacar  dos  bolas sin  reposición,   Cual  es  la probabilidad  que  las  dos  sean  negras .?

4.-   Se tiene  una  urna  con  4  bolas  rojas  y  2  bolas negras.  Se  va  a sacar  dos  bolas sin  reposición,   Cual  es  la probabilidad  que  las  dos  sean  rojas .?

5.-  En yumbo    el  60%  de los estudiantes  quiere  ser  doctor ,   el  40% quiere  trabajar  en la  alcaldía municipal    el  20%  quiere  las  dos  opciones anteriores.  Se   toma  un  estudiante  al  azar.    

 a)Cual es  el probabilidad  que quiera  ser  doctor  si quiere  trabajar  en la  alcaldia. ?

 a) Si quiere  ser  doctor, Cual es  el probabilidad  que  quiera  trabajar en la  alcaldía ?

6-     Se  tienen   15  hombre  y   18  mujeres     (    entre  ellos  hay  los que usan  gafas  y  los  que no usan  )    hay   8  hombres    y   5  mujeres  que usan  gafan . 

a.      Cual es  la probabilidad  que  sea  un  hombre.?  Si  se toman  los que usan  gafas  

b.     Si se  toman  mujeres     Cual  es la probabilidad que no usen  gafas

7.-     Se tienen  6  bolas  rojas  y  10  azules   (  Hay  bolas  buenas  y  bolas  malas    )     2  bolas  rojas  son  buenas   y 8  azules  son  malas . 

a.      Si  se toman  bolas  rojas   Cual es  la probabilidad  que  salga una buena.?  

b.     Cual  es la probabilidad que salga una  bola  azul?  Si  se  toman  bolas  malas .     

8.-  Un esudio  sobre los estados  civiles  de 10    hombres  y  14  mujeres  arroja que  2 hombres  son solteros  y  8  mujeres  son  casadas .

a.    Cual es  la probabilidad  que  sea  soltero.?    Si  se toman  los hombres.  

b.       Si  se  toman  un  casado.     Cual  es la probabilidad que sea una mujer?

9.-  Se  tienen  20  perros  y  10  gatos. ( en ellos hay  callejeros  y   domesticos    )    hay   9  perros  callejeros ,   6   gatos  domesticos.

a.      Si  se toman   un  perro  .  Cual  es  la probabilidad  que  sea  domestico.?  

b.     Cual  es la probabilidad  que sea un gato?    Si  se  toman  un  animal  callejero .     

10.-  Una empresa  produce  camisetas   del    CALI Y  del   AMERICA.  (  entre las camisetas  hay  buenas  y defectuosas  )  .   Del cali  hay  508  buenas  y  92  defectuosas,  y del amerca  hay 315 buenas y  85  defectuosas.

a.     Un hincha  compra  una camiseta  defectuosa .    Cual es  la probabilidad  que  sea  del  Cali.?  

b.       Se compra  una camiseta  del  AMERICA.    Cual  es la probabilidad que sea buena.
c.  Cual es  la probabilidad  que  una a camiseta  comprada  al  azar  sea  del  AMERICA.

11.-  Se  elabora  una encuesta entre hombres y mujeres  sobre  habitos  de lectura  (   los que  les  gusta leer  y  los que  no les  gusta  )  .    De  80   mujeres    a   30  les  gusta  leer   y  de  80  hombres  a   20   no les gusta leer .

a.      Cual es  la probabilidad  que  al escoger una  persona al  azar   le  guste leer   sabiendo  que se  tomo un hombre    un  hombre.?  
b.    Se  toma  un  una  mujer.  Cual  es la probabilidad  que  no le guste  leer ?