9 ECUACIONES DE RECTAS- Y ALGO MAS

ACTIVIDAD    10

ECUACIONES DE  RECTAS .

En  el  tema  de rectas  existen  varias  ecuaciones  de  rectas   o  representaciones  de ellas.  Vamos  a  hacer  el  analisis  de  como  llegar  a cada  una  de ellas  y  tratar  de hacer  su  interpretacion.  
 Recordemos  ademas   que  para  trazar  una recta  se necesitan  dos  puntos  de  un plano  cartesiano.  el  punto     A(  X1 , Y1 )    y  el  punto  B (  X2 , Y2 ) .
Cuando unimos  el  punto  A   con  B   obtenemos  una a recta 

 Ecuacion  general  de una recta  AX  +   BY  +C  =  0

En  el  capitulo  anterior  vimos  sistemas  de ecuaciones  de  la  forma    3x  +   2y   =   0 .  Ahi en uno  de  los  metodos  intentamos  despejar  una  de  las  variables   X   o    Y .  

Al  despejar  la variable  Y   llegariamos  a la ecuacion.

Y  =            -  AX      -     C   

                        B               B


donde los  coeficientes  que  acompañan  la  X  seran  la pendiente (  A/B )    y   C  sera  el punto de  corte  con el eje   y  (  1 / B ).

Ejemplo: 

1.-    sea  la ecuacion de la   recta      3Y  -  12 X  -   9   =    0    .  
A.   Calcular  el  valor  de  la pendiente 
B.   Calcular   el  punto  del corte  con  el  eje   Y .

Como  la   ecuacion      3Y  -  12 X  -   9   =    0      se  debe  despejar  la  variable  Y   entonces:

Y  =            12X    +    9   

                       3           3

Y  =            4X    +    3               la  PENDIENTE  =    4      CORTE  EN EL EJE Y  =     3


EJERCICIO   1   :  

En cada  ecuacion    despejar  el  valor  de y  y decir  cual  es  la pendiente y cual  es  el punto de corte en  el eje   Y  

1.           10X   +  5Y  -  20   =   0
2.            8X   -   2Y  +  4   =   0

3.           3X   +  Y  -  2   =   0

4.           4X   -   6Y  +  18   =   0

                                          

Ecuacion   de una recta              Y   =    MX  +   b 

  En  algunas  ocasiones  no me dan  la ecuacion  general  de la recta      ax  +   by   + c   =  0 ,   sino que  la ecuacion  se  toma  haciendo  el despeje  de  Y y  queda  asi     Y  =  MX  +   C.

En la ecuacion    Y  =  MX  +   B.      la  variable  M    es  la pendiente    y   la  variable   b  indica  el  punto  de  corte  con el   eje   Y . 

Ejemplo:   

a.-     5X  +   Y   +  20   =   0    .          Despejando  la variable   Y    tenemos    Y  =  -  5X   -  20  
                                                             la   pendiente  es    -5   y  el corte  con el  eje  y  es   -  20    


b.-        3X   2Y  - 10  =   0      Despejando  la  variable  Y   tenemos  que    2Y    =   -   3X   +10

              Y    =   -   3X   +  10     
                              2           2                   PENDIENTE  - 3/2       CORTE  EN  Y   10/2 


PENDIENTE  DE UNA  RECTA.    

 La  variable  M   es  la pendiente  de una  recta.   La  pendiente de una recta es    el grado  de  inclinacion de la recta  con  respecto  al eje  X (   al  piso  ) .  La pendiente  tiene como ecuacion

M  =   eje  de las  Y    
            eje  de las X

M  =    Y2   -    Y1       
            X2   -     X1            
      
 Ejemplo 1 :  Calcular  una pendiente  dados  dos  puntos    A(  6  ,  4  )      B(  10  ,   8  ).
                                                                                                  A(  X1  ,  Y1  )      B( X2  ,   Y2  ).

aqui  debemos identificar  primero  cual  es    Y2  = 8    y      Y1  = 4         X2 =   6          X1      = 10
reemplazando 


M  =    8   -    4                        M    =     1 
           10   -    6   



Ejemplo 2 :  Calcular  una pendiente  dados  dos  puntos    A(  30  ,  -  20  )      B(  10  ,  80 ).
                                                                                                  A(  X1  ,  Y1  )      B( X2  ,   Y2  ).


M  =    80  -    (-20 )                        M    =     80  +  20               M   =    5
           10   -    30                                                  20     


EJERCICIO   2   :  

En cada  par  de puntos,  calcular  el  valor   de la pendiente  utilizando  la formula  .

M  =    Y2   -    Y1       
            X2   -     X1            
      

a)     (  - 1 ,  10 )     ( 2  ,  - 2  )             b)     (  0 ,  4  )     ( 2  ,   0 )            c)     (  -1 ,  3  )     (  2 ,   0 )     
d)     (  18 ,  24  )     (  15 ,   6 )         e)     ( -1  ,  5  )     ( -23  , -1  )        f)  ( 44 ,  -200  )   ( -6 ,  50  )     
g)     (  7 ,  1 )     ( 2  ,  8  )                 h)     (  0 ,  14  )     ( 7  ,   0 )              i)     (  1 ,  3  )     (  2 ,   0 )     

PUNTO  DEL CORTE  CON  EL EJE   Y 

En la ecuacion de la recta    Y  =  MX  +   b.              b   es  el  punto  de corte  con el eje y .
vaya  al  ejercicio 1   y   mire  una  de las ecuaciones  despejedas  para  poder  observar  el  corte  con  ej  eje    Y.  

Ejemplo .        si       Y =    -7X   +   6            el punto de corte  con el eje  y   es    6   .

                         si        Y  =     78X   -  3          el punto de corte  con el eje  y   es    -  3     .

Ecuacion   de una recta       Y2 - Y1  =  M( X2  -   X1 ) 

Ecuacion  punto pendiente 

Esta  ecuacion  se  obtiene  de   la  formula  de la pendiente.  

M  =    Y2   -    Y1       

            X2   -     X1               de  aqui    pasamos     X2   -     X1    que  esta  dividendo,  se  pasa  a                                                    multiplicar    y  se  obtiene: 

                                Y2 - Y1  =  M( X2  -   X1 )  

 a   esta ecucion se le llama  ecuacion   punto  pendiente 

Nota  :   Esta ecuacion  se caracteriza  porque   se  conoce  la pendiente  y  uno de sus puntos,  puede ser  el punto  (   X1   ,    Y1      )     o   el  punto   (  X2   ,    Y 2    )  

HALLAR  LA ECUACION  DE UNA RECTA  DADOS  UN PUNTO  Y LA PENDIENTE.

Cuando  se  conoce  un punto  y  se  conoce  la pendiente   se  puede  recurrir   a  la formu

Ejemplo 1 :  Calcular   la ecuacion de una   recta   dada    m  =   3   y  el punto   A(  6  ,  4  ) .

solucion.

Utilizamos  la ecuacion     Y  =  MX  +   b.      

como se  conoce    m=  3      y= 4     x=  6    reemplazo  en la formula  y  calculo  el  valor C. 

4  =  3(6)   +   b.      

4  =   18   +    b  

4 -  18    =   b  

 - 14   =   b        Este  es  el punto de corte  con el eje   y .     ENTONCES  

LA ECUCION  DE LA RECTA  ES     Y  =   3 X   -   14     

Ejemplo 2 :  Calcular   la ecuacion de una   recta   dada    m  =   -5   y  el punto   A(  -3  ,  4  ) .

solucion.

Utilizamos  la ecuacion     Y  =  MX  +   b.      

como se  conoce    m=  - 5        y= 4     x= - 3    reemplazo  en la formula  y  calculo  el  valor C. 

4  =  -  5 (- 3 )   +  b.      

4  =   15   +    b  

4 -  15    =   b  

 - 11   =   b       Este  es  el punto de corte  con el eje   y .     ENTONCES  

LA ECUCION  DE LA RECTA  ES     Y  =   - 5 X   -   11     

    EJERCICIO  3   :  

Calcular  la ECUACION DE UNA  RECTA   dados   UN PUNTO Y LA PENDIENTE:  

1.      m  =     5        P   (  3  ,    4    )                         2.      m  =     7        P   (    8 , 0  )                  

3.      m  =     -2        P   (  - 3 ,  6   )                          4.      m  =     -3       P   (   - 5 ,  -  2 )                  

5.      m  =    10       P   (  5  ,  -   2   )                          6.      m  =     6        P   (   - 1 ,  9   )                  

7.      m  =     4       P   (   0 ,  7    )                         8.      m  =     8        P   ( 28  ,  3  )      

HALLAR  LA ECUACION  DE UNA RECTA  DADOS  DOS  PUNTOS 

Cuando  se  conocen  dos  puntos  y se  pide  hallar la ecuacion de la recta,   se  recurre  a  la formula  de  la  pendiente  y  a la formula    Y  =  MX  +   b.    

Calculamos  primero la pendiente   y  tomamos uno de los  dos  puntos  para  calcular  el punto de corte  con  el  eje   Y             (   b  )  

Ejemplo 1 :

  Calcular   la ecuacion de una   recta   dada    el punto B (  8  ,  30  )  el punto   A(  6  ,  4  ) .

solucion.

1.-   Utilizamos  la ecuacion     de la pendiente 

  M  =    Y2   -    Y1       
            X2   -     X1        

M  =    30   -   4           =       26            M  =  13          
            8   -     6                      2

   

2.-     como se  conoce    m=  13     utilizamos  uno  de los puntos  donde  y= 30   x=  8    reemplazo  en la formula  y  calculo  el  valor C.    (   aqui   podemos utilizar  cualquiera  de los  puntos   A  o   B ) 

 Y  =  MX  +   b.    

20 =  13(8) +  b.     

20 =  104   +   b                                   20  -  104    =     b                 b   =   - 84  

3.-      La ecuacion de la recta  que  pasa  por   B (  8  ,  30  )    A(  6  ,  4  ) 

ES     Y   =  13 X   -   84  

Ejemplo 2 :
  Calcular   la ecuacion de una   recta   dada    el punto B (  -3  ,  5 )  el punto   A(  -1  , - 9  ) .

solucion.

1.-   Utilizamos  la ecuacion     de la pendiente 

  M  =    Y2   -    Y1       
            X2   -     X1        

M  =    -9   -   5          =       -14            M  =  -14             M   =   -  7  
            -1  -  ( - 3 )              -1 + 3                     2            

   

2.-     como se  conoce    m=  -7     utilizamos  uno  de los puntos  donde  y= -9  x=  -1   reemplazo  en la formula  y  calculo  el  valor C.    (   aqui   podemos utilizar  cualquiera  de los  puntos   A  o   B ) 

 Y  =  MX  +   b.    

-9=  -7( -1) +   b    
-9 =  7   +   b                                   -9 -  7    =     b                 b   =   - 16  

3.-      La ecuacion de la recta  que  pasa  por  B (  -3  ,  5 )  y  A(  -1  , - 9  ) .

ES     Y   =  -7 X   -   16P2

EJERCICIO  4  :  

Calcular  la ECUACION DE UNA  RECTA   dados  DOS  PUNTOS :  

1.      P1   (  3  ,    4    )          P2   (  3  ,    4    )                     2.       P1   (  3  ,    49    )         P2   (    10 , 0  )                  

3.       P1   (  0  ,    24    )       P2   (  - 3 ,  6   )                       4.       P1   (  3  ,   - 5    )        P2   (   1 ,  -  9 )                  

5.       P1   (  8  ,    4    )        P2   (  5  ,  -   8   )                     6.       P1   (  7 ,  -7    )         P2   (   - 1 ,  9   )                  

7.       P1   (  3  ,    4    )        P2  (   0 ,  7    )                         8.       P1   (  3  ,    4    )        P2   ( 2  ,  3  )