noveno FORMULA CUADRATICA

 INSTITUCION EDUCATIVA  JOSE MARIA  CORDOBA 

             
               ALGEBRA :    Grado   Noveno
               DOCENTE  :     Victor  Mario  Echeverri
         

  
FORMULA  CUADRATICA  
ECUACIONES SEGUNDO  GRADO
 
    COMPETENCIA:


Capacidad de relacionar los conceptos sobre sistemas de ecuaciones y funciones cuadráticas y solucionarlas a través de la  formula cuadratica   justificando su procedimiento y valorando los resultados obtenidos.

   DESEMPEÑO:

Resuelve  ecuaciones  cuadraticas  utilizando      FORMULA  CUADRATICA.  
Analiza y determina la naturaleza de las raices  o solluciones  utilizando  el valor  del discriminante.
Plantea y resuelve  problemas   cuya  solucion implica  utilizar   FORMULA  CUADRATICA .



*Debes tener  en cuenta los criterios de graficacion  de  unsa  ecuacion  utilizando  tabulacion 

* Conceptos  de  factorizacion   de trinomios  de  la forma  X2  +  BX  +  C  =  0

*  Recordar  los trinomios  cuadrados perfectos 


INTRODUCCION.

Las  ecuaciones  cuadraticas  son de la forma         AX2    +   BX   +   C   =  0.
En  la unidad  anterior  solucionamos todos  los  caso  en donde  la  ecucion cuadratica  tomaba  un valor   A =  1    quedando          X2    +   BX   +   C   =  0.

En la funcion  cuadratica    teniamos  varias  formas  de  indicarlo   asi :

f ( x )   =       AX2    +   BX   +   C   =  0.         o  indicado  tambien como:  

Y   =        X2    +   BX   +   C      aqui  explicamos  todo  el proceso  para   calcular   

El corte con el  eje   y,  los  cortes  con  el eje  X  (Factorizando)    y  tambien explicamos  como calcular  el  vertice. 
ejemplo : 

Y   =        X2    +   4X   -  12       

Haciendo  el proceso   tenemos  que :  

Es una  parabola que abre  hacia  arriba.  
Corta  al eje  Y  en   - 12 
Y   =     (   X  +   6   ). (  X  -   2   )      teniendo     x   =  -6   y      x  =   2  
Son  puntos  de corte en  el eje   X.
El  vertice  sera    V (  - 2 ,  - 16 ) 

NOTA :   No  todas  la  ecuaciones se pueden   factorizar    ej: 

Y   =        X2    -   8X   +  5     no   se  puede  factorizar   (  intente  usted  )
       
Y   =       2X2    +   5X   -  2       no  se puede  factorizar  facilmente


Las  ecuaciones  de la forma    AX2    +   BX   +   C   =  0,   que  no   se puedan  factorizar  nos permite  recurrir   a   la  formula  cuadratica  que  se indica  que  la siguiente   manera: 




CON LA  FORMULA CUADRATICA  PODEMOS  RESOLVER  CUALQUIER  ECUACION  DE LA FORMA      

AX2    +   BX   +   C   =  0. 

La  ecuacion  cuadratica   nos permite  calcular  los  valores  que puede  tomar   X  en  la ecuacion,   lo que  es  lo mismo  que  calcular  los  puntos  de  corte  en  el eje  X   cuando se  trata  de una  funcion cuadratica .   ej     Y   =        X2    -   8X   +  5 

Cuando tenemos  los puntos  de  corte  en el eje X   seguimos el proceso explicado anteriormente  para  calcular  el  valor  del vertice  y  tener  una  mejor  vision de  como  es  la grafica  de la parabola-

La  expresion  que  se encuentra  dentro  del  simbolo radical


se  llama  DISCRIMINANTE  y  de  el  dependen  el caracter de  las raices  en  la ecuacion  asi . 
 b2    -   4ac     si  el  valor es una  cantidad  positiva existen  dos  raices  reales  desiguales .
 
 b2    -   4ac     si  el  valor es cero,   existen  dos  raices  reales  iguales .

 b2    -   4ac     si  el  valor es una  cantidad  positiva existen  dos  raices  imaginarias  .



Ejemplo: 1
Determinar  el caracter  de las  raices  de  3X2 - 7X +2 = 0

aqui       a = 3      b= -7    c = 2 
hallemos  el valor  de   b2  -  4ac .   =   ( -7 )2   -  4 ( 3  ) . ( 2 ) 
49 - 24  =  25 como es  positivo  las  raices  son reales y desiguales.


 Ejemplo: 2
Determinar  el caracter  de las  raices  de  4X2 - 12X +9 = 0

aqui       a = 4     b= -12    c = 9 
hallemos  el valor  de   b2  -  4ac .   =   ( -12 )2   -  4 ( 4  ) . ( 9 ) 
144 - 144  =  0   Como es  cero   las  raices  son reales e iguales 



Ejemplo: 3
Determinar  el caracter  de las  raices  de  X2 - 2X +3 = 0

aqui       a = 1      b= -2    c = 3 
hallemos  el valor  de   b2  -  4ac .   =   ( -2 )2  -  4 ( 1 ) . ( 3 ) 
4 - 12  =  - 8  como es  negativa,   las  raices  imaginarias



EJERCICIOS      EJERCICIOS     EJERCICIOS 

Determine el caracter  de  las  raices  de la  ecuacion  cuadratica  sin resolverlas, aplicando  el discriminante.

     
a.      2X2    -   4X   -  1 = 0                  b.       X2    -   5X   -  5 =  0        
c.      X2    -  5X   -  14 = 0                   d.       X2    +   10X   + 25 = 0       
e.      2X2   -  9X   +  7 =  0                   f.      3 X2    -  2X   +  5 = 0 
 


EJEMPLO   4
Este  ejercicio   lo  podriamos  factorizar  de  forma  rapida  y sencilla,  pero  vamos  a  aplicar  la  FORMULA CUADRATICA .


  

EJEMPLO   5  

Este ejercicio  de  la forma     AX2    +   BX   +   C   =  0.   le  aplicamos    F. G  




EJEMPLO   6  




         
EJERCICIOS      EJERCICIOS     EJERCICIOS 

Determine  las  raices ( soluciones )  de la  ecuacion  cuadratica,   aplicando  la formula  general  o ecuacion cuadratica.

a.      2X2    +   X   -  6                      b.   - X2    -   X   +  6       
c.      5X2    +  41X  +  8                   d.    X2    -   16X   +  63       
e.      X2    +   4X  -  12                     f.    12X2    -   13X   -  35
 g.     -6X2   -  7X  + 10                    h.   20X2    +   X   -  1 
      

EJERCICIOS      EJERCICIOS     EJERCICIOS 

En las siguienetes funciones   cuadraticas que  corresponden  a parabolas  calcular  el  vertice y  cortes  con  los ejes  X  y  Y   .  
     
a.   Y   =   X2    +   7X   +10          b.  Y   =    4X2   +   15X   + 9       
c.   Y   =   X2    +   X   -  132         d.  Y   =  -20X2   -  X   + 1       
e.   Y   =   X2    +  13X  - 30          f.  Y   =    - 12X2    +  X  + 6       










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