11- MEDIDAD DE DISPERSION- DESV- MEDIA- VARIANZA----DESV. ESTANDAR

INSTITUCION  EDUCATIVA   JOSE MARIA  CORDOBA 

ESTADISTICA       GRADO    ONCE            Lic  Victor  M. Echeverri 

MEDIDAS   DE DISPERSION :       

 

COMPETENCIA

Capacidad para calcular e interpretar medidas de dispersión y organizar los datos de manera que se facilite su comprensión

 

 

EJES  TEMATICOS

 

 

·       2. Definición y Cálculo del Rango, la Desviación Media, la Varianza, La Desviación Típica y El Coeficiente de Variación

 

 

DESEMPEÑOS 

·       Analizo  e interpreto distribuciones de  dispersión e interpreto los resultados ·       Capacidad para juzgar los resultados de un estudio donde intervienen las desviaciones, y la varianza. ·

Las  MEDIDAS   DE  DISPERSION  son las  que  dan  información  de que tan  cerca o alejados  del  centro  están  nuestros  datos. 

Las  medidas  de dispersión    más relevantes  para  nuestro estudio  serán:  

 

A.    RANGO:  Es la medida a de dispersión mas simple.  Se calcula haciendo la direncia  entre el mayor  y el menor de los datos: 

B.    DESVIACION MEDIA:  Es la diferencia en valor absoluto entre cada valor de la variable y la media aritmética--   Es el promedio de las desviaciones respecto  a la media. 

C.    VARIANZA:  Es el promedio de  los cuadrados de las desviaciones  medidas  al  rededor  de la media.  

D.    DESVIACION TIPICA O ESTANDAR:  Es la medida del grado de dispersión de los datos respecto al valor promedio.

 

 

Las medidas  de dispersión  se  le pueden  calcular  a  datos  que están  organizados  de la siguiente  manera:

 

 

Pocos  elementos                    tabla  sin  agrupar                  tabla  agrupados

 

 

Vamos  a  ver   las medidas  de dispersión  para  para cada uno de estos  grupos.

 

1.-   POCOS  ELEMENTOS:

 

Se  tiene  la  edades  de  dos  grupos  de estudiantes  asi: 

 

 Grupo1    15 ,  20  ,  25,  30,    40   

 Grupo2      3  ,  7 ,    20,    20,  80 

 

 Calcualar:  RANGO,  DESVIACION MEDIA,  VARIANZA  Y  DESVIACION  TIPICA A O ESTANDAR

 

RANGO: 

1 Grupo    15 ,  20  ,  25,  30,    40     el rango  será    R =    40 -15  =   25        R₁ = 25   el 

2  Grupo      3  ,  7 ,    20,    20,  80     el rango  será     R =  80 -3   = 77               R₂ =  77

 

En cada grupo tenemos 5  elementos. 

El promedio de cada grupo es 26   y   Como rango1   menor que rango2  significa que los datos  del grupo  1  están  más  densos  o  concentrados  que  los  datos  del grupo  2

 

DESVIACION MEDIA:  def:   Como la desviación media es la sumatoria del valor absoluto de  cada  dato menos la media dividido  entre  el numero de datos.

Def:  Es  el promedio  de las  desviaciones respecto  a la media. 

 

Calcualar  la  DM    para  la  edades de    Grupo1    15 ,  20  ,  25,  30,    40   

 

 

 

 

Calculamos  primero  la media   del gruo 1    asi:

 

 

Ẍ =    15   +   20  +    25   +    30   +   40         =      130       =   26               
                             5                                                     5                                       
 Ẍ  =   26

entonces la  Dm   será:

 DM  =   ︳15 -  26 ︳+  ︳20 -  26 ︳+   ︳25 -  26 ︳+ ︳30 -  26 ︳+ ︳40 -  26 ︳  
                                                                  5

asi :         DM  =   ︳- 11  ︳+  ︳- 6  ︳+   ︳- 1 ︳+ ︳4  ︳+ ︳14  ︳  
                                                                     5

como el  valor  absoluto  de  todo  numero negativo  es  positivo    entonces.

 

asi :         DM  =   11  +  6   +   1  + 4   +   14      =       36          =       7,2 
                                                     5                               5

              DM=  7,2

 

Si  calculamos  la   DM   del  grupo2   obtenemos  21,6  .   DM =  21,6

 

CONCLUIMOS:   QUE  LOS DATOS  DEL  GRUPO1   SON  MAS  HOMOGENEOS QUE  LOS DATOS  DEL GRUPO2

Nota:    si   DM = 0   todos los  datos  son iguales

                 DM =  se aproxima  a cero -  los datos  son mas  homogéneos.

                 DM =  se aleja de cero – los datos  son  mas  separados  u heterogéneos

 

VARIANZA:  ..  Es el  promedio  de  los  cuadrados  de  las  desviaciones  medidas  alrededor  de la  media.  La  varianza  se  expresa  como  σ ²

 

   σ ²        ∑  ( X -  Ẍ ) ²             para  una  población.               

                                    n

e

 

   σ ²        ∑  ( X -  Ẍ ) ²             para  una  muestra               

                                    n -  1 

 

ejemplo :  Calcular  la  varianza  a  la  población de edades  de estudiantes  en el    Grupo1    15 ,  20  ,  25,  30,    40   

 

entonces la    varianza       σ ²        será:

 =  ︳15 -  26 ︳²+  ︳20 -  26 ︳²+   ︳25 -  26 ︳²+ ︳30 -  26 ︳²+ ︳40 -  26 ︳²  
                                                                  5

          σ ²        =  ︳-11 ︳²+  ︳-6 ︳²+   ︳-1 ︳²+ ︳4 ︳²+ ︳14 ︳²  
                                                                  5

como el  valor  absoluto  de  todo  numero negativo  es  positivo    entonces.

 

asi :         σ ²          =   11²  +  6²   +  1²  + 4²   +   14²     
                                                     5                                              

             

σ ²          =   121  +  36   +  1  + 16   +   196      =        370     =    74
                                           5                                          5                                     

             

 

 

σ ²          =  74     años  al  cuadrado---      promedio  de  los  cuadrados  de  las  desviaciones  medidas  alrededor  de la  media.

DESVIACION TIPICA O ESTANDAR:  ……Es  la medida  del grado  de DISPERSION   de  los datos  con  respecto  a la media.

 

 

 

La  desviación  estanadar  o  desviación  TIPICA  es  la raíz  cuadrada  de la  VARIANZA

 

 

   =    8.66   años

TRABAJO  DE PRACTICA  EN  SU  CUADERNO. Teniendo en cuenta  el ejemplo   y  el   video  anterior,  CALCULAR: RANGO       DESVIACION MEDIA,    VARIANZA. DESV  ESTANDAR O DESV  TIPICA   1.-  Las edades  de  trabajadores en  años   es  de :     20,    28,   35,     40,     48,   52 .   2. Las edades  de las  monjas  del convento son de :     40,    44,    48,    51,  52,     55   3.-  Compare  los  rangos  del  ejercicio1   vs  el ejercicio2   y diga  sus  conclusiones,  igual  con  la desviación medio,  y  desviación  estandar

 

2.-  ELEMENTOS EN UNA TABLA ( NO AGRUPADOS ):

 

 

DESVIACION MEDIA:

Se  tiene  la  edades  de    grupo  de estudiantes  asi:

                                                                                                                                                                                                                        Se les  pregunto  a  30  personas  que  dijeran  su estrato  social  de acuerdo  a los recibos  de servicios y  esta  fueron las  respuestas:

1,1,1,1,1,1 , 1,1,1,2,2,2,   2,  2,   2,  2,  2,  2,  2,   3,  3,  3, 3,  3,  3,  3,  3,  3,  3, 3 4,  4,  4,  4,  4,  4,  5,  5,  5.   Elabore  una  tabla de  frecuencias  y  calcule.

 

DM  ,     VARIANZA,     DESVIACION  ESTANDAR

 

   DM     =     ∑  ︳X -   Ẍ ︳. f               f   es la frecuencia 
                                                  n

DM  =   ︳X1 -  Ẍ ︳.f +  ︳X2 -  Ẍ  ︳.f +    ︳X3-  Ẍ ︳.f + ................. ︳Xn -  Ẍ  ︳.f 
                                                     n

 

Esto lo  hacemos  y veremos en  la tabla  en la  parte  inferior  para  cada uno de los datos. (  ver tabla ).

 

Primero  debemos  calcular   la media  (  Ẍ )    para  ir  resolviendo cada  parte  de la formula

 

Para  calcular   la media  o  promedio     Ẍ   =     ∑ X.f  =  105  = 2,62

                                                                                        N            40

 

X	f	XF	︳X -   Ẍ    ︳	︳X -   Ẍ    ︳f
1	9	9	︳1  -  2,62    ︳= 1.62	1.62x9  = 14.58
2	10	20	︳2  -  2,62    ︳=0.62	0.62x10 = 6.2
3	11	33	︳3  -  2,62    ︳=0.38	0.38x11 = 4.18
4	7	28	︳4  -  2,62    ︳=1.38	1.38x 7 = 9.66
5	3	15	︳5 -  2,62    ︳=2.38	2.38x3 = 7.14
TOTAL	40	105		= 41.76

      

Como  debemos  calcular  la sumatoria  de      ︳X -   Ẍ    ︳f     = 41.76  

 

Entonces la         DM     =     ∑  ︳X -   Ẍ ︳. f           
                                                                 n

DM  =  ( 41.76 ) / 40    =  1.04

 

 REFORZAMOS  CON  ESTE   VIDEO 

VARIANZA: 

 

Para  los mismos datos  calcular  la  varianza

 

   σ ²        ∑  ( X -  Ẍ ) ² . f            para  una  población.               

                                    n                                                            

 

 

 

 

X	f	XF	(  X -   Ẍ    )	(  X -   Ẍ    )2	(  X -   Ẍ    )2f
1	9	9	(  1  -  2,62    )= 1.62	2.62	2.62x9  = 23.58
2	10	20	(  2  -  2,62    ) =0.62	0.38	0.38x10 = 3.8
3	11	33	(  3  -  2,62    ) =0.38	0.14	0.14x11 = 1.54
4	7	28	(  4  -  2,62    ) =1.38	1.90	1.90x 7 = 13.30
5	3	15	(  5  -  2,62    ) =2.38	5.66	5.66x3 = 16.98
TOTAL	40	105			= 59,2

      

Entonces  la  varianza  

 

 

   σ ²    ∑  ( X -  Ẍ ) ² . f    =     59,2      =    1.48   estrato  al cuadrado

                            n                              40                                                     

 

NOS  APOYAMOS   CON   ESTE  VIDEO 

DESVIACION TIPICA O ESTANDAR:  ……Es  la medida  del grado  de DISPERSION   de  los datos  con  respecto  a la media.

La  desviación  estanadar  o  desviación  TIPICA  es  la raíz  cuadrada  de la  VARIANZA.

 

   =    1.21   estratos

 

 

 

 

TRABAJO  DE PRACTICA  EN  SU  CUADERNO. Teniendo en cuenta  el ejemplo   y  el   video  anterior,  CALCULAR:       DESVIACION MEDIA,    VARIANZA. DESV  ESTANDAR O DESV  TIPICA   4.-   La tabla  muestr  el peso  en gramos  de  40  cadenas de oro. X f         32 5         35 2         40 13         50 12         60 8         Total 40             5.-  .)   Veamos   la estatura  en cm de   estudiantes  del grado  once:  primera a columna   el  peso,  segunda columna  la frecuencia  y  tercera  columna  frecuencia  acumulada estatura f         120 10         130 22         140 6         150 12         160 11         170 8         Total 69

 

 

 

 

 

3.- ELEMENTOS AGRUPADOS EN UNA TABLA

 

Se  tiene  las  estaturas  de  personas    ubicadas  en una  tabla  asi: 

 

Intervalos	Marca Clase	f
120-134	127	9
135-149	132	10
150-164	157	11
165-179	172	7
TOTAL		37

      

 

 

DESVIACION MEDIA:

Calcular la         DM     =     ∑  ︳X -   Ẍ ︳. f           
                                                                 n

Aquí  debo  trabajar   con  las   frecuencias  y  la  marca  de clase  de cada  intervalo que  es  el  elemento  representativo de cada  intervalo.

 

La marca  de clase  es  el punto  medio de cada intervalo  asi:    (120+134)/2 = 127   en forma  similar  se  calcula  la marca  de clase  de los otros intervalos

Ahora  calculamso  la  MEDIA :

 

Ẍ=    127(9)   +   132(10)     +    157(11)      +    172 (7)              =      130                                                    37                                                                      37                                       

Ẍ=    1143   +   1320     +    1727      +    1204              =      5394                                                    37                                                                      37                                       

 

Para  calcular   la media  o  promedio     Ẍ   =     ∑ X.f  =  5394  = 145,78

                                                                                        N            37

 

 

 

Intervalos	Marca Clase	f	XF	︳X -   Ẍ    ︳	︳X -   Ẍ    ︳f
120-134	127	9	1143	︳127 -  145,78  ︳= 18.51	18.51x9  = 14.58
135-149	132	10	1320	︳132  -  145,78  ︳=13.78	13.78 x10 = 137,8
150-164	157	11	1727	︳157  -  145,78  ︳=11,22	11,22x11 = 123.42
165-179	172	7	1204	︳172  -  145,78  ︳=26.22	26.22x 7 = 183.54
TOTAL		37	5394		= 459.34

      

Recuerde  en las  operaciones de valor  absoluto, que el valor  absoluto  de una cantidad negativa  siempre será  positiva   ejemplo 

 

Como  DM      DM     =     ∑  ︳X -   Ẍ ︳. f      =  459.34     =  12.41
                                                                 n                      37

 

 

12.41  =   DM      =   Es  el promedio  de las  desviaciones respecto  a la media

 

 

VARIANZA: 

 

Se  tiene  las  estaturas  de  personas    ubicadas  en una  tabla  asi: 

 

Intervalos	Marca Clase	f
120-134	127	9
135-149	132	10
150-164	157	11
165-179	172	7
TOTAL		37

      

 

Para  los mismos datos  calcular  la  varianza

 

   σ ²        ∑  ( X -  Ẍ ) ² . f            para  una  población.               

                                    n                                                            

Ẍ=    127(9)   +   132(10)     +    157(11)      +    172 (7)              =      130                                                    37                                                                      37                                       

Ẍ=    1143   +   1320     +    1727      +    1204              =      5394                                                    37                                                                      37                                       

 

Para  calcular   la media  o  promedio     Ẍ   =     ∑ X.f  =  5394  = 145,78

                                                                                        N            37

 

 

Veamos  en la tabla  como  es  la columna  de cada uno de los datos  menos la  media  y despues lo elevamos  al cuadrado.

 

Intervalos	Marca Clase	f	XF	(  X -   Ẍ    )	(  X -   Ẍ    )2   (  X -   Ẍ    )2 f
120-134	127	9	1143	︳127 -  145,78  ︳= 18.51	342,62                  3083.58
135-149	132	10	1320	︳132  -  145,78  ︳=13.78	189.88                  1898.80
150-164	157	11	1727	︳157  -  145,78  ︳=11,22	125,88                  1384.68
165-179	172	7	1204	︳172  -  145,78  ︳=26.22	687.48                  4812.36
TOTAL		37	5394		= 1345,86             11179.42

      

Entonces  la  varianza  

 

   σ ²        ∑  ( X^´ -  Ẍ ) ² . f            para  una  población.               

                                    n                                                            

   σ ²        11179.42   =          302.14     cm²         

                            37                                                            

 

DESVIACION TIPICA O ESTANDAR:  ……Es  la medida  del grado  de DISPERSION   de  los datos  con  respecto  a la media.

La  desviación  estandar  o  desviación  TIPICA  es  la raíz  cuadrada  de la  VARIANZA.

 

   =    17.38    cm

 

TRABAJO  DE PRACTICA  EN  SU  CUADERNO. Teniendo en cuenta  el ejemplo   y  el   video  anterior,  CALCULAR:       DESVIACION MEDIA,    VARIANZA. DESV  ESTANDAR O DESV  TIPICA   6.-   Estudio de la cantidad de dinero  en pesos  que  gastan los  estudiantes  durante  el descanso en  el  colegio:    Cantidad $$$ X´ f         120- 140   6         140- 160   4         160- 180   10         180- 200   9         200- 220   15         220- 240   18         Total   62           7.- Veamos   el peso  en gramos  de  150  cadenas  de  oro que  vendio PLATERIA  RAMIREZ :  Peso-ramos X´ f         38- 44   5         44- 50   40         50- 56   60         56- 62   20         62- 68   25         Total