GRADO NOVENO







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ACTIVIDAD   5

METODO  DE  REDUCCION .

Resolver  un sistema  de ecuaciones  por  el metodo  de reducción    consiste  en  hallar   la  pareja      ( X,Y)   que  satisface  el  sistema  o  que  es  la solución   de  'el .
para  resolver un  sistema  por  el metodo de reduccion  se deben tener  en cuenta  los  siguientes  pasos.
1.  Una  variable  del  sistema  debe  quedar   con  el mismo  coeficiente  pero  con signos  contrarios.
2.   Se  elimina  la  variable   con igual  coeficiente  y  se  despeja  la variable  que  nos  queda.
3.  El  valor  de  la variable  del  paso  2  lo  REEMPLAZO   en la ecuación   1)   o  en  la   2).

NOTA: QUE  ES REDUCIR  UNA  VARIABLE.  es  tratar  de  que queden  con  el mismo  coeficiente  pero  con signos  contrarios.  ej.  en  el  sistema
                  1)      5X    +   6Y   =   27                               
                   2)     7X   -   3Y    =    9

analizamos  cada  una  de las  variables  para  ver  cual es la mejor  opcion  a reducir.
===  LA  VARIABLE  X    no tiene los  mismos  coeficientes.   debo  tratar  que el coeficiente  sea  el mismo.   Lo  puedo hacer  multiplicando  la  ecuación 1)  x  7    y  la  ecuación  2)  x   5     .   En  esta forma  los coeficientes  serian  35X     Y    35 X .
Debo  tratar  que una de las  ecuaciones  me quede  con  signo contrario  por  lo que una  de las ecuaciones  debe  multiplicarse por un  valor negativo.   entonces la  ecuación  1)  no  se multiplica  por  7  sino  por   -7    .  ahora si  tengo  el mismo  coeficiente  pero  con signos  contrarios.  -35X   Y   35X

===  LA  VARIABLE  Y  es la mas indicada para  reducir,  pues  ya  tiene  los signos  contrarios (  lo que no pasa  con la variable  X )   .  los  coeficientes  son diferentes.  Para que sean iguales puedo  multiplicara toda  la  ecuación  2)  por   2  y  asi  convertir  el coeficientes  a   6Y   igual  que la ecuación  uno .
otra  forma  para  reducir  la  variable  Y    seria  multiplicar la  ecuacion   dos  por   4   y  la ecuacion  uno  por    2 .  asi  quedarian la dos ecuaciones  con  la variable Y      COMO   12Y     y   12Y .

Puedes   ver   el siguiente  video  explicativo  del metodo de reducion.  Mostraremos la solucion de  2  ejemplos .
NO  OLVIDES  REGRESAR  AL BLOCK PARA  CONTINUAR  CON LA EXPLICACION  DEL  TEMA







Otra  explicacion

EJEMPLO   3     .  paso  a  paso

.Resolvamos   paso  a paso  otro  sistema  de ecuaciones  por  el metodo de   REDUCCION

1)   3X - 2Y =  -2
2)   5X + 8Y =  - 60

En  este  sistema la  variable  mas indicada  a reducir  es  la  variable  Y   por  tener  los signos  contrarios.  En  este caso para  tener  los mismos  coeficientes   multiplicamos toda la ecuación  uno  por  4   y  tendriamos  todo el sistema  con  coeficiente 8  en la variable  y.
primer  paso:   reduccion  en  varialble  Y

1)  3X   - 2Y =  -2                multiplicamos  1)  por  4                   1)  12X - 8Y =  -8                                                    
2)   5X + 8Y =  - 60            dejamos  2)  igual                               2)   5X + 8Y =  - 60       
                                            Eliminamos  la variable  Y                       17X        =  - 68

                                            Despejamos la variable  X                            X        =   -68 /  17
                                                                                                                    X       =  -  4
segundo  paso :  REEMPLAZAMOS  X =  -4  en cualquiera  de las  dos  ecuaciones 
                          tomemos la  ecuación   2)   5X + 8Y =  - 60
                                                                   5( - 4 ) + 8Y =   - 60
                                                                      -20   +  8 Y =  - 60
                                                                                  8Y =  -60  +  20
                                                                                   8Y =  - 40
                                                                                     Y =   -40                   
                                                                                                8
                                                                                       Y  =   - 5  

                                              LA  SOLUCION  DEL  SISTEMA  ES   (  -4  ,  -5  )

TRABAJO  DE PRACTICA  EN  SU  CUADERNO.

RESOLVER  LOS  SIGUIENTES  SISTEMAS  DE ECUACIONES  POR  EL METODO  DE  REDUCCION 

   1.-          1)       X    +   6Y   =   27                              2.-          1)        X  -   5Y   =  8
                    2)      7X   -   3Y    =    9                                                 2)      -7X  +  8Y  =  25



     3.-           1)       3X    -  4Y   =   13                           4.-           1)     6X  -   5Y   =  - 9
                       2)      8X   -   5Y    =    - 5                                            2)     4X  +  3Y   =   13

NOTA:  La  solución  de  todos  ellos  da  resultados  de  números   enteros  R1   (   3 ,  4   )
(   -7 ,  -3   )       (   -5 ,  -7  )         (   1 ,  3   )




SI  QUIERES  PRACTICAR   MAS  PUEDES RESOLVER  ESTOS  2  EJERCICIOS.

 5.-          1)       12X    -  14Y   =   20                             6.-          1)      15X  -   Y   =  40
                    2)     -14X   +  12Y    =  -19                                            2)      19X  +  8Y  =  236

respuesta R5   (   1/2 , - 1 )             R6    (  4  ,  20  )




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ACTIVIDAD   4

METODO   DE  IGUALACION 

El  siguiente  video  mostrara   como  se  resuelve  un sistema  de  dos  ecuaciones en dos  variables  por  el metodo  de  igualación.   Esta  explicación  la hacemos  utilizando  dos  ejemplos mediante  videos  que  se espera  sea  lo mas explicito  posible.     Despues  haremos  un  ejemplo No  3   con  todos  los procesos. 
Cuanto  haya   visto  los  videos   deberá  resolver  4  ejercicios  aplicando este mismo metodo.


Cuando  termines  de  ver  el video  no olvides  regresar  al block  para  continuar  con la  guia.







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EJEMPLO   3 

.Resolvamos   paso  a paso  otro  sistema  de ecuaciones  por  el metodo de igualación:

1)   3X - 2Y =  -2
2)   5X + 8Y =  - 60
primer  paso:  despejamos la misma  variable en las dos ecuaciones  asi:

1)  3X - 2Y =  -2   despejamos    X   entonces    3X   =  -2  +  2Y            X   =  -2  +  2Y                                                                                                                                                            3               

2)   5X + 8Y =  - 60  despejamos    X   entonces   5X + 8Y =  - 60           X  =  - 60  -  8Y       
                                                                                                                                      5            

segundo  paso :  IGUALAMOS
como  X  en  la primera  y segunda ecuación,  son iguales   haemos     X   =    X   

 -2  +  2Y   =        - 60  -  8Y        aqui  linealizamos  multiplicando  en   equis   asi:
       3                           5 
5 . (   -2  +  2y  )     =     3 . (  -60  -  8y  )    efectuando  operaciones indicadas  :
       -10  +  10 Y     =     -180   -   24 Y        transponiendo  términos:
      10 Y  +  24Y     =     -180   +  10             Resolviendo  la ecuación   tenemos :  
                  34 Y      =       -170  
                       Y      =       -170                   
                                           34
                          Y  =   - 5  
tercer  paso:REEMPLAZAMOS                                                               
Sustituimos    Y =  -5   en cualquiera  de las  dos ecuaciones.  por  ejemplo en la  ecuacion  1) se  tiene  que :     3X - 2( - 5 )   =  -2
                         3X  +  10     =  -2
                                     3X   =   -2   -10
                                       3X = -12
                                          X  =  -  4       LA  SOLUCION  DEL  SISTEMA  ES   (  -4  ,  -5  )


TRABAJO  DE PRACTICA  EN  SU  CUADERNO.

RESOLVER  LOS  SIGUIENTES  SISTEMAS  DE ECUACIONES  POR  EL METODO  DE  IGUALACION.

   1.-          1)       X    +   6Y   =   27                              2.-          1)        X  -   5Y   =  8
                    2)      7X   -   3Y    =    9                                                 2)      -7X  +  8Y  =  25



     3.-           1)       3X    -  4Y   =   13                           4.-           1)     6X  -   5Y   =  - 9
                       2)      8X   -   5Y    =    - 5                                            2)     4X  +  3Y   =   13

NOTA:  La  solución  de  todos  ellos  da  resultados  de  números   enteros  R1   (   3 ,  4   )
(   -7 ,  -3   )       (   -5 ,  -7  )         (   1 ,  3   )




SI  QUIERES  PRACTICAR   MAS  PUEDES RESOLVER  ESTOS  2  EJERCICIOS.

 5.-          1)       12X    -  14Y   =   20                             6.-          1)      15X  -   Y   =  40
                    2)     -14X   +  12Y    =  -19                                            2)      19X  +  8Y  =  236

respuesta R5   (   1/2 , - 1 )             R6    (  4  ,  20  )


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ACTIVIDAD    3 

COMO  PLANTEAR UNA ECUACION EN DOS VARIABLES   

La siguiente  presentación  mostrara  el   VÍDEO 2    con  tres ejemplos donde  se hace  referencia  al planteamiento  de un  sistema  de ecuaciones  con  dos  variables.

Únicamente se hará  planteamiento   para  practicar  la lectura  de un problema  hasta  dejarlo en lenguaje matemático,  cuanto  se  haya manejado  esta parte  entraremos en como llegar  a la  solución de  estos problemas

. primera  parte 



El  vídeo 3    te muestra  tres ejercicios mas del mismo tema.





OTROS EJEMPLOS DE PLANTEAMIENTOS.

*     Dos  números  están  en  relación de  2  a  8.  si  el  menor  se  aumenta  en  5 y el mayor se aumenta   en  1 la  relación  es  de   7 a 2.

  1)       X/Y = 2/8    aqui  vemos  cual  es  el menor (x)  y cual  el mayor ( y).   linealizamos   y me queda   8X  - 2Y =  0
  2)       ( X + 5 )/ ( Y + 1) = 7/2     (Linealizamos)     y   me queda   2( X + 5 )   =   7 ( Y +  1 )
                                                                                                               2X  + 10  =  7Y  + 7
                                                                                                                2X - 7Y  = -3


**     Se  tienen  $  54.000  en   78  monedas  de  $200   y  de  $500 .   cuantas monedas  hay  de  $200  y  cuantas  monedas hay  de  $500             (   X   monedas  de  $ 200    Y  monedas   de $500  )
           1)    X   +   Y    =    78 
           2)  200X +  500Y  = 54000 


EJERCICIOS PARA  PRACTICAR  PLANTEAMIENTOS  Resolver  en su cuaderno    

1.-  La  suma  de  dos  números  es  1529  y  su  diferencia  es   101.
2.-  Un tercio  de la diferencia de  dos números  es  11  y  4/9   del mayor  equivalen  a 3/4 del menor.
3. -  8 gaseosas  y  12  empanadas  valen   $  18.000   y  6 gaseosas  y  20 empanadas   valen  $  20.000.

4. - Si  a los dos  términos  de una  fracción  se le resta 3  el valor de la fracción  es  1/3  y si a los dos términos se les  aumenta  5  el  valor de la fracción es 3/5.

5.-   Si al numerador  de una fracción se aumenta  4   el valor de la fracción es   4/5   y  si  al denominador se  disminuye  en  2  el valor de la  fracción es  8/3.

6.-   Dos  números  están  en  relación de  5  a  6 .  si  el  menor  se  aumenta  en  2  y el mayor se disminuye  en  6  la  relación  es  de   9 a 8 .

7.-   Se  tienen  $  54.000  en   78  monedas  de  $200   y  de  $500 .   cuantas monedas  hay  de  $200  y  cuantas  monedas hay  de  $500
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ACTIVIDAD   2  


INTRODUCCION  A  ECUACIONES  EN  DOS  VARIABLES 
UNICAMENTE  PLANTEAR   NO  RESOLVER 

Les  comparto  enlace  donde  pueden  ver la explicación   de  ecuaciones  en  dos  variables.
como  convertir  lenguaje  gramatical  a  lenguaje  matemático.(  planteamiento  de  una ecuación)






recuerde  que  en  cada ecuacion  aparecen  2  variables  diferentes,  usted  les asigna  la letra  que  quiera, pero  trate  de usar  siempre las  variables   X ,  Y
EJEMPLOS

*  La  diferencia  de  2  numeros  es   500 .R/     A   -    B    =   500
*   Al numerador  y  al denominador de una fraccion   ( A/B  )  le   quito  3,   la  fraccion  equivale a  2   R/
           A  - 3  =    2
           B  - 3   
*  3/5 de  la  suma  de  las  edades del padre y  el hijo  equivalen  a  60.  R/.             3/5 ( X + Y ) = 60
*    Si  el mayor  de  numeros   se divide  por  el menor
       el  cociente  es    6  y  el residuo  es    4 :  R./            6Y   +   4   =   X

TRABAJO:    

ESCRIBA  EN SU  CUADERNO EL PLANTEAMIENTO PARA  LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS

1.     La  suma  de  dos   números  es   40   y     1/8  de  su  suma  es   11.  R/       

2.    5  trajes  y  8   sombreros   cuestan   20.000  pesos.R/

3.    El  doble  de  marramos   mas  el triple  de   perros  equivale   a  80.000  pesos.R/

4.    Una fracción   equivale  a   3/5.    R/ 

5.-  Al  numerador  de una fracción  se  le aumenta  uno  y  al denominador  se le restan  8. R/

6.    La  edad  de  A    excede  a la  edad  de  B  en  10  años .  R/

7.  la  edad  de   B  es  menor  en  20 años  que la edad  de  B   R/

8.   6  veces  el ancho  de una  sala   mas  4  veces  el  largo  equivalen  a   300  metros.  R/

9.   3/4   de  la suma  de  dos  numeros   equivale     a    1/2   de  su  diferencia .   R/

   

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ACTIVIDAD   1 


ESCRIBA  UNICAMENTE   EL  PLANTEAMIENTO .   NO  LO  RESUELVA -   
1.       LA  CUARTA  PARTE  DEL  DUPLO  DE  MI  EDAD   EQUIVALE  AL   TRIPLO  DE  MI EDAD  MENOS  10  AÑOS .    CUAL  ES  MI EDAD.?   CUAL  ES MI EDAD.?
2.       LA  QUINTA  PARTE  DE MI DINERO  MAS   TRES  QUINTOS  EQUIVALE    A    SIETE  QUINTOS   MENOS   DOS  TERCIOS  DE MI   DINERO.
CUANTO  DINERO  TENGO .?
3.       EL  TRIPLO  DE LA EDAD  DE JUAN  MAS  2 / 3  DE  SU  EDAD  EQUIVALE  A   60 AÑOS   MENOS  UN  TERCIO  DE SU EDAD.  .  CUAL  ES LA EDAS DE JUAN .?
4.       LA  CUARTA  PARTE  DE  EL  TRIPLO DE MI EDADE  MENOS  20 AÑOS EQUIVALE A   EL  DOBLE  DE MI EDAD   MENOS   10  AÑOS.  CUAL  ES MI EDAD.
Si   los  resolviera  los resultados  son  1.-)    X = 4           2.-)     X = 12/13                 3.-)     X = 15               4.-)       X = 4   
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